Question

【題目】已知點(diǎn)A（6，2），B（3，2），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|=2|MB|．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)M的軌跡與y軸的交點(diǎn)為P，過P作斜率為k的直線l與M的軌跡交于另一點(diǎn)Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面積的最大值，并求出此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），∵|MA|=2|MB|，

∴ =2 ，

化為：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4

（2）解：令x=0，解得y=2，∴P（0，2）．

直線l的方程為：y=kx+2，（k≠0）代入圓的方程可得：（1+k2）x2﹣4x=0，

解得x=0，或x= ．

∴Q ．

∴|PQ|= = ．

點(diǎn)C到直線l的距離d= = ．

∴△CPQ面積S= |PQ|d= × × = = ≤ =1，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=1時(shí)取等號(hào)．

∴△CPQ面積的最大值1時(shí)，此時(shí)直線l的方程為：y=±x+2

【解析】（1）設(shè)M（x，y），由|MA|=2|MB|，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．（2）令x=0，可得P（0，2）．直線l的方程為：y=kx+2，（k≠0）代入圓的方程可得：（1+k2）x2﹣4x=0，解出可得Q坐標(biāo)，|PQ|．求出點(diǎn)C到直線l的距離d，△CPQ面積S= |PQ|d，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．