Question

【題目】如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（其中∠BAC=30°）及其體積．

Answer 1

【答案】解：如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1 ， 在半圓中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R， ∴AC= R，BC=R，CO1= R，
∴S球=4πR2 ，
=π× R× R= πR2 ，
=π× R×R= πR2 ，
∴S幾何體表=S球+ + = πR2 ，
∴旋轉所得到的幾何體的表面積為 πR2 ．
又V球= πR3 ， = AO1πCO12= πR2AO1
= BO1πCO12= BO1πR2
∴V幾何體=V球﹣（ + ）= πR3 ．

【解析】求出AC= R，BC=R，CO1= R，再求出幾何體的表面積；要求旋轉后陰影部分的體積即是球的體積減去兩個圓錐的體積，根據圓錐的體積公式和球的體積公式進行計算．
【考點精析】通過靈活運用旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺），掌握常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球即可以解答此題．