Question

【題目】已知圓C的方程為：x2+y2=4
（1）求過點P（2，1）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點D（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2 ，求直線l的方程；
（3）圓C上有一動點M（x0 ， y0）， =（0，y0），若向量 = + ，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：當k不存在時，x=2滿足題意；

當k存在時，設切線方程為y﹣1=k（x﹣2），

由 =2得，k=﹣ ，

則所求的切線方程為x=2或3x+4y﹣10=0

（2）解：當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為（1， ）和（1，﹣ ），這兩點的距離為2 ，滿足題意；

當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，

設圓心到此直線的距離為d，

∴d= =1，即 =1，

解得：k= ，

此時直線方程為3x﹣4y+5=0，

綜上所述，所求直線方程為3x﹣4y+5=0或x=1

（3）解：設Q點的坐標為（x，y），

∵M（x0，y0）， =（0，y0）， = + ，

∴（x，y）=（x0，2y0），

∴x=x0，y=2y0，

∵x02+y02=4，

∴x2+（ ）2=4，即 + =1

【解析】（1）分兩種情況考慮：當直線l的斜率不存在時，直線x=2滿足題意；當k存在時，變形出l方程，利用圓心到l的距離d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時l方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；（2）分兩種情況考慮：當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，直線l與圓的兩個交點距離為2 ，滿足題意；
當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y﹣2=k（x﹣1），求出圓心到直線l的距離d=1，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；（3）設Q（x，y），表示出 ， ，代入已知等式中化簡得到x=x0 ， y=2y0 ， 代入圓方程變形即可得到Q軌跡方程．