Question

【題目】已知△ABC，|AB|=8，AC與BC邊所在直線的斜率之積為定值m，
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）當m=1時，過點E（0，1）的直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求P、Q兩點的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB邊所在直線為x軸，以AB邊的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系

則A（﹣4，0），B（4，0）

設點C的坐標為（x，y），則 ，

∴ ，

即mx2﹣y2=16m

當m=0時，動點C的軌跡方程為y=0（x≠±4），

表示x軸所在直線去掉A、B兩點剩下的部分

當m＞0時，動點C的軌跡方程為

表示焦點在x軸上的雙曲線去掉A、B兩點剩下的部

當﹣1＜m＜0時，動點C的軌跡方程為

表示焦點在x軸上的橢圓去掉A、B兩點剩下的部分

當m＜﹣1時，動點C的軌跡方程為

表示焦點在y軸上的橢圓去掉A、B兩點剩下的部分

當m=﹣1時，動點C的軌跡方程為 x2+y2=16（x≠±4）

表示以AB為直徑的圓去掉A、B兩點剩下的部分

（2）解：當m=1時，動點C的軌跡方程為 ，

當直線l的斜率不存在時，顯然不可能與 有交點，舍去；

當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+1，設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）

聯立方程組 ，

消去y得：（1﹣k2）x2﹣2kx﹣17=0

由題意得：x1、x2是此方程的解

所以 ∴

所以 ，所以得 又直線l與動點C的軌跡方程有兩個不同的焦點，

則 ∴ 且 且k2≠1，∴ 或y0＜﹣16

所以P、Q兩點的中點M的軌跡方程為

【解析】（1）以AB邊所在直線為x軸，以AB邊的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，利用AC與BC邊所在直線的斜率之積為定值m，建立方程，即可求動點C的軌跡方程；（2）分類討論，聯立方程組，即可求P、Q兩點的中點M的軌跡方程．