Question

【題目】如圖，矩形ABCD是某小區戶外活動空地的平面示意圖，其中AB＝50米，AD＝100米，現擬在直角三角形OMN內栽植草坪供兒童踢球娛樂（其中，點O為AD的中點，OM⊥ON，點M在AB上，點N在CD上），將破舊的道路AM重新鋪設．已知草坪成本為每平方米20元，新道路AM成本為每米500元，設∠OMA＝θ，記草坪栽植與新道路鋪設所需的總費用為f(θ)．

（1）求f(θ)關于θ函數關系式，并寫出定義域；

（2）為節約投入成本，當tanθ為何值時，總費用 f(θ)最小？

Answer 1

【答案】（1）f(θ)＝，其定義域為；（2）

【解析】試題分析：（1）在RtOAM中，解出，在RtODN中求出ON＝，故可得，由題意當點M與點B重合時，θ取最小值；當點N與點C重合時，θ取最大值，即，故可得最后結果；（2）由（1）可得，對其求導，利用導數判斷其單調性得其最值.

試題解析：（1）據題意，在RtOAM中，OA＝50，∠OMA＝θ，所以AM＝，OM＝，據平面幾何知識可知∠DON＝θ，在RtODN中，OD＝50，∠DON＝θ，所以ON＝，所以f(θ)＝＝＝ ，據題意，當點M與點B重合時，θ取最小值；當點N與點C重合時，θ取最大值，所以，所以f(θ)＝，其定義域為．

（2）由（1）可知，f(θ)＝， ， ＝＝＝，

令＝0，得，其中，列表：

θ
		↘	極小值	↗

所以當時，總費用 f(θ)取最小值，可節約投入成本．