Question

【題目】已知函數(shù)y=x+ （a＞0）在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增；函數(shù)
（1）請寫出函數(shù)f（x）=x2+ （a＞0）與函數(shù)g（x）=xn+ （a＞0，n∈N，n≥3）在（0，+∞）的單調(diào)區(qū)間（只寫結(jié)論，不證明）；
（2）求函數(shù)h（x）的最值；
（3）討論方程h2（x）﹣3mh（x）+2m2=0（0＜m≤30）實根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)條件， 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，

單調(diào)遞增區(qū)間是 ；

函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）解： =

由（1）可知， 與 均在 單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，

則有函數(shù)h（x）在 單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，

所以 ，

（3）解：由h2（x）﹣3mh（x）+2m2=0可得（h（x）﹣m）（h（x）﹣2m）=0，

所以有h（x）=m或h（x）=2m，

又函數(shù)h（x）在 單調(diào)遞減，在[1，2]單調(diào)遞增，

而 ，

所以當(dāng)0＜2m＜160＜m＜8時，方程無實數(shù)根；

當(dāng)2m=16m=8時，有一個實數(shù)根；

當(dāng)0＜m＜16，且60＞2m＞16即8＜m＜16，方程有兩個實數(shù)根；

當(dāng)m=16，2m=32，方程有三個實數(shù)根；

當(dāng) 時，方程有四個實數(shù)根．

綜上，①當(dāng)0＜m＜8時，方程實根個數(shù)為0；

②當(dāng)m=8時，方程實根個數(shù)為1；

③當(dāng)8＜m＜16時，方程實根個數(shù)為2；

④當(dāng)m=16，2m=32時，方程實根個數(shù)為3；

⑤當(dāng)16＜m≤30時，方程實根個數(shù)為4

【解析】（1）由已知函數(shù)y=x+ 的單調(diào)區(qū)間，即可得到所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）化簡h（x）的函數(shù)式，再由已知結(jié)論，可得函數(shù)h（x）在 單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，即可得到所求函數(shù)的最值；（3）化簡方程可得，h（x）=m或h（x）=2m，又函數(shù)h（x）在 單調(diào)遞減，在[1，2]單調(diào)遞增，討論0＜m＜8，m=8，8＜m＜16，16＜m≤30，即可得到方程的根的個數(shù)．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲挡拍艿贸稣�確答案．