Question

【題目】在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，過(guò)AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l.下面給出了四個(gè)命題：這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

①l∥AC；

②BM⊥AC；

③l和AD1所成的角為60°；

④線段BM長(zhǎng)度的最小值為.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】A

【解析】

①由ABCD﹣A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，可得BD⊥平面A1ACC1，可得面A1ACC1為平面α，再判斷；②結(jié)合①根據(jù)底面是正方形判斷.③利用異面直線所成的角的定義判斷.④利用垂線段最短，當(dāng)M是A1C1的中點(diǎn)時(shí)求解判斷.

如圖所示：

由ABCD﹣A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，可得BD⊥平面A1ACC1，

即平面A1ACC1為平面α，直線A1C1為l，則l∥AC，故①正確；

由M∈l，即M∈A1C1，只有當(dāng)M為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，有BM⊥AC，

當(dāng)M在l上其它位置時(shí)，BM與AC不垂直，故②錯(cuò)誤；

由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即為l和AD1所成角，

∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③錯(cuò)誤；

由A1B＝BC1，可知當(dāng)M是A1C1的中點(diǎn)時(shí)，BM⊥A1C1，

此時(shí)線段BM取得最小值，且BM，∴④錯(cuò)誤.

故只有①正確.

故選：A.