Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，將曲線方程，先向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到曲線C.

（1）點M（x，y）為曲線C上任意一點，寫出曲線C的參數方程，并求出的最大值；

（2）設直線l的參數方程為，（t為參數），又直線l與曲線C的交點為E，F，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段EF的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.

Answer 1

【答案】（1）（θ為參數）；4；（2）

【解析】

（1）直接利用轉換關系，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換，進一步利用三角函數關系式的變換和余弦型函數性質的應用求出結果.

（2）利用中點坐標公式的應用和直線垂直的充要條件的應用求出結果.

解：（1）將曲線方程，先向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到曲線C的方程為，

即，

故曲線C的參數方程為（θ為參數）；

又點M（x，y）為曲線C上任意一點，

所以2cos4cos（）.

所以的最大值為4；

（2）由（1）知曲線C的直角坐標方程為，

又直線l的參數方程為，（t為參數），

所以直線l的普通方程為x+2y﹣4＝0，

所以有，

解得或.

所以線段EF的中點坐標為（），

即線段EF的中點坐標為（2，1），

直線l的斜率為，

則與直線l垂直的直線的斜率為2，

故所求直線的直角坐標方程為y﹣1＝2（x﹣2），

即2x﹣y﹣3＝0，

將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，

得其極坐標方程為2ρcosθ﹣ρsinθ﹣3＝0.