Question

【題目】等比數列{an}的各項都是正數，2a5 ， a4 ， 4a6成等差數列，且滿足 ，數列{bn}的前n項和為 ，n∈N* ， 且b1=1
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式
（2）設 ，n∈N* ， {Cn}前n項和為 ，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q，由題意可知2a4=2a5+4a6，即a4=a4q+2a4q2，

由an＞0，則2q2+q﹣1=0，解得：q= ，或q=﹣1（舍去），

a4=4a32=4a2a4，則a2= ，

∴a1= ，

等比數列{an}通項公式an=（ ）n，

當n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

整理得： = ，

∴數列{ }是首項為 =1的常數列，

則 =1，則bn=n，n∈N*，

數列{bn}的通項公式bn=n，n∈N*

（2）解：證明：由（1）可知：cn= an

= = ﹣ ，

∴ ck=c1+c2+…+cn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+ ﹣

= ﹣ ＜ ．

【解析】（1）由于數列{an}為等比數列，根據等比數列的通項公式表示出a4，a5，a6，根據2a5，a4，4a6成等差數列，可得2a4=2a5+4a6，可解得公比q，從而得到等比數列的通項公式，由bn=Sn﹣Sn﹣1，化簡整理可得數列{bn}的通項公式，（2）由（1）求得數列{Cn}的通項公式，采用裂項相消即可求得數列{Cn}前n項和，即可證明不等式成立.
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．