Question

【題目】定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數 ．
（1）若f（x）是奇函數，求m的值；
（2）當m=1時，求函數f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（﹣∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（3）若函數f（x）在[0，1]上是以3為上界的函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x）

得 ，即（1﹣m2）2x=0，∴m2﹣1=0，m=±1

（2）解：當m=1時， ．

∵x＜0，∴0＜2x＜1，∴f（x）∈（0，1），滿足|f（x）|≤1．

∴f（x）在（﹣∞，0）上為有界函數

（3）解：若函數f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數，則有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．

∴﹣3≤f（x）≤3，

即 ，

∴ ，化簡得： ，

即 ，

上面不等式組對一切x∈[0，1]都成立，

故 ，

∴

【解析】（1）根據函數奇偶性的性質建立方程關系進行求解即可．（2）根據分式函數的性質以及有界函數的定義進行求解判斷即可．（3）根據函數的有界性建立不等式關系，利用不等式恒成立進行求解即可．