Question

【題目】已知數列是各項均為正數的等差數列.

（1）若，且成等比數列，求數列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，數列的前和為，設，若對任意的，不等式恒成立，求突數的最小值:

（3）若數列中有兩項可以表示位某個整數的不同次冪，求證:數列中存在無窮多項構成等比數列.

Answer 1

【答案】（1）的通項公式．（2）實數的最小值為．

（3）有等比數列，其中．

【解析】

本試題主要是考查了數列的通項公式和數列求和的綜合運用。

（1）因為因為又因為是正項等差數列，故，利用等差數列的某兩項可知其通項公式的求解。

（2）因為，可知其的通項公式，利用裂項求和的思想得到結論。

（3）因為這個數列的所有項都是正數，并且不相等，所以，

設其中是數列的項，是大于1的整數，

分析證明。

（1）因為又因為是正項等差數列，故

所以，得或(舍去) ，

所以數列的通項公式．………………………………………………4分

（2） 因為，

，

，

令，則， 當時，恒成立，

所以在上是增函數，故當時，，即當時，， 要使對任意的正整數， 不等式恒成立，

則須使， 所以實數的最小值為．…………………………10分

（3）因為這個數列的所有項都是正數，并且不相等，所以，

設其中是數列的項，是大于1的整數，，

令，則，

故是的整數倍，對的次冪，

所以，右邊是的整數倍．

所有這種形式是數列中某一項，

因此有等比數列，其中． …………………………16分