Question

【題目】已知函數,其中是函數的導數, 為自然對數的底數, (,).

（Ⅰ）求的解析式及極值;

（Ⅱ）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,為極大值點,且；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先對函數求導，令求出，再求出，即可得出解析式；再根據函數的導數，確定函數的單調性，進而可得出其極值；

（Ⅱ）先由得，構造函數，對其求導，分別討論和，求出最小值，得到，再令，用導數的方法求最小值，即可得出結果.

（Ⅰ）由已知得,

令, 得,即,

又, ∴,

從而, ∴,

又在上遞增,且,

∴當時, ；當時, ,

故為極大值點,且.

（Ⅱ）由得，

令，得,

①當時, 在上單調遞增,

時, 與相矛盾;

②當時, ,

當時, ,

即,

∴,,

令,則,

∴,,

當時, ,

即當,時,

∴的最大值為,