Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣2，2]上的奇函數，且f（2）=3，若對任意的m，n∈[﹣2，2]，m+n≠0，都有 ＞0．
（1）若f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2），求實數a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）≤（5﹣2a）t+1對任意x∈[﹣2，2]和a∈[﹣1，2]都恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設任意x1，x2，滿足﹣2x1＜x22，由題意可得

f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）= ＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在定義域[﹣2，2]上是增函數．

則f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2）可化為：

﹣22a﹣1＜a2﹣2a+22，

解得0a＜1，

∴a的取值范圍為[0，1）

（2）解：由（1）知，不等式f（x）（5﹣2a）t+1對任意x∈[﹣2，2]和a∈[﹣1，2]都恒成立，

fmax（x）（5﹣2a）t+1對任意的a∈[﹣1，2]都恒成立，

∴3（5﹣2a）t+1恒成立，

即2ta﹣5t+20對任意的a∈[﹣1，2]都恒成立，

令g（a）=2ta﹣5t+2，a∈[﹣1，2]，

則只需 ，

解得t2，

∴t的取值范圍是[2，+∞）

【解析】（1）利用抽象函數的關系式及奇函數的定義判斷函數f（x）的單調性，再根據本小題的函數不等關系得到關于a的不等式，特別需要注意必須考慮函數的自變量再定義域內；（2）本小題的關鍵是函數思想的應用，利用所給條件及所學知識將不等式的求值變為求函數的最值.
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．