Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）寫出f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意可得：x∈R，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．

又因?yàn)?f（x）= = =

所以f（﹣x）= = =﹣f（x），

所以f（x）是奇函數(shù)．

（2）f（x）= = =1﹣ ，在R上是增函數(shù)，

證明如下：任意取x1，x2，并且x1＞x2∴

則 f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0

所以f（x1）＞f（x2），則f（x）在R上是增函數(shù)．

（3）∵0＜ ＜2

∴f（x）=1﹣ ∈（﹣1，1），

所以f（x）的值域?yàn)椋ī?，1）．

【解析】（1）判斷函數(shù)的奇偶性，需先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可以證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用不等式的基本性質(zhì)求得函數(shù)的值域.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．