Question

【題目】如圖．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=CD，M是的CD的中點．N是AC與BM的交點，將△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（I）求證：AB⊥PN．
（Ⅱ）若E為PA的中點．求證：EN∥平面PDM．

Answer 1

【答案】證明：（1）連結AM，
∵M是的CD的中點，AB=CD，AB∥CD，
∴四邊形ABCM是平行四邊形，四邊形ABMD是平行四邊形，
∴N是BM的中點，BM=AD，又∵AD=BC，
∴△BCM是等邊三角形，即△PBM是等邊三角形．
∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面ABMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN平面PBM，
∴PN⊥平面ABMD，∵AB平面ABMD，
∴AB⊥PN．
（2）連結PC，∵E是PA的中點，N是AC的中點，
∴EN∥PC，
∵PC平面PDM，EN平面PDM，
∴EN∥平面PDM．

【解析】（1）連結AM，則可證△BCM為等邊三角形，從而PN⊥BM，由面面垂直得出PN⊥平面ABMD，故而PN⊥AB；
（2）連結PC，由中位線定理得EN∥PC，故而EN∥平面PDM．