Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求過點且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設，其中為非零實數，若有兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由導函數研究函數的切線，求得函數在點 處的切線斜率為 ，據此可得切線方程為；

(Ⅱ)利用題意構造函數 ，結合(I)的結論和導函數與原函數的關系即可證得結論.

試題解析：

（Ⅰ）

設切點為，則切線的斜率為

點在上，

，解得

切線的斜率為，切線方程為

（Ⅱ）

當時，即時，在上單調遞增；

當時，由得，，故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，由得，在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，有兩個極值點，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構造函數，

在上單調遞增，

又，所以在時恒成立，即成立

.