Question

【題目】已知圓C過點（1，2）和（2，1），且圓心在直線x+y﹣4=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若一束光線l自點A（﹣3，3）發出，射到x軸上，被x軸反射到圓C上，若反射點為M（a，0），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設圓心坐標為（x，4﹣x），則（x﹣1）2+（2﹣x）2=（x﹣2）2+（3﹣x）2 ，
∴x=2，
∴C（2，2），
∴圓C的方程C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1；
（Ⅱ）A關于x軸的對稱點A′（﹣3，﹣3），設過A′的直線為y+3=k（x+3），
當該直線與⊙C相切時，有=1，∴k=或k=
∴過A′，⊙C的兩條切線為y+3=（x+3），y+3=（x+3），
令y=0，得x1=﹣，x2=1
∴反射點M在x軸上的范圍是[﹣，1]．
【解析】（Ⅰ）求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）由題意，可知反射線必過定點A′（點是點A關于x軸對稱的點），利用幾何知識知當反射線與已知圓相切時恰好為范圍的臨界狀態．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．