Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）若，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若且，求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析： (1)已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;

(2)研究函數(shù)的零點,用零點存在性定理、數(shù)形結(jié)合思想求解.

試題解析：（1）∵，∴，

若，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則對任意的恒成立，即對任意的恒成立，

∴，即實數(shù)的取值范圍為.

（2）當(dāng)時，，∴，

由，得；由，得.∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

∴在區(qū)間上有且僅有一個零點，

當(dāng)時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又，，

∴在區(qū)間上有且僅有一個零點.

綜上，若且，則在區(qū)間上有且僅有一個零點.

點晴：本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點的個數(shù),對邏輯思維能力、數(shù)形結(jié)合思想要求很高,屬于難題.第(1)問已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍,將含參函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的最值問題;第(2)問研究函數(shù)的零點,用零點存在性定理、數(shù)形結(jié)合思想求解.