Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

(1)證明：AC⊥HD′；

(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′ABCFE的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（1）折疊后仍有EF⊥HD，而AC∥EF，可得AC⊥HD′.（2）先定高線：OD′，由勾股定理得OD′⊥OH.由（1）得AC⊥OD′.因此OD′⊥平面ABC.再根據錐體體積公式求體積

試題解析：(1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.

由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

(2)由EF∥AC得.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，

故OD′⊥OH.

由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.

又由＝得EF＝.

五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝.

所以五棱錐D′ABCFE的體積V＝××2＝.

點睛:立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關系的變化,不變的垂直關系是解決問題的關鍵條件.