Question

【題目】對于給定的正整數k,若數列lanl 滿足

=2kan對任意正整數n(n> k) 總成立，則稱數列lanl 是“P(k)數列”.學科@網

(1)證明：等差數列lanl是“P(3)數列”；

若數列lanl既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：lanl是等差數列.

Answer 1

【答案】當{an}為等差數列時，∵，

∴，

∴，

∴.

（2）（，），

（，），

∴，∴，

∴數列{an}是等差數列.

【解析】

證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，

從而，當時，

，

所以，

因此等差數列是“數列”.

（2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此，

當時，，①

當時，.②

由①知，，③

，④

將③④代入②，得，其中，

所以是等差數列，設其公差為.

在①中，取，則，所以，

在①中，取，則，所以，

所以數列是等差數列.