Question

【題目】已知等邊三角形的邊長為4，四邊形為正方形，平面平面， ， ， ， 分別是線段， ， ， 上的點.

（Ⅰ）如圖①，若為線段的中點， ，證明： 平面；

（Ⅱ）如圖②，若， 分別為線段， 的中點， ， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據中位線定理及平行四邊形性質可得

試題解析：

（Ⅰ）證明：取的中點，連接， ，則

易知為的中位線， ，

平面， 平面，

平面，易知四邊形為平行四邊形，

， 平面， 平面， 平面.

， ， 平面， 平面平面，

又平面， 平面.

（Ⅱ）連接，則，

平面平面，平面平面， 平面，

平面，分別以， ， 所在直線為

軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

， ， ， ， ，

則， ， ，

設平面的法向量為，則， ， ，

取，得，故，

設平面的法向量為，則， ，

，取，得，故，

.

易知二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為.