Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=4DC．
（Ⅰ）求BD的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求sin∠CBD的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)椤螦BC=90°，AB=4，BC=3， 所以cosC= ，sinC= ，AC=5，
又因?yàn)锳D=4DC，所以AD=4，DC=1．
在△BCD中，由余弦定理，
得BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC
=32+12﹣2× = ，
所以 ．
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理，得 ，
所以 ，
所以 sin∠CBD=
【解析】（Ⅰ）由已知可求cosC，sinC，AC，又AD=4DC，可求AD，DC，從而由余弦定理BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC即可求BD的值．（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理即可求得sin∠CBD的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．