Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．

（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求證：CP⊥PA：
（2）若過點A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，

AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．

因為CP平面PBC，所以CP⊥AB．

又因為CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB平面PAB，

所以CP⊥平面PAB，

又因為PA平面PAB，所以CP⊥PA．

（2）證明：在平面PBC內過點P作PD⊥BC，垂足為D．

因為平面PBC⊥平面ABC，

又平面PBC∩平面ABC=BC，PD平面PBC，所以PD⊥平面ABC．

又l⊥平面ABC，所以l∥PD．

又l平面PBC，PD平面PBC，所以l∥平面PBC．

【解析】（1）先利用面面垂直的性質定理可證AB⊥平面PBC，進而可證CP⊥AB，再利用線面垂直的判定定理可證CP⊥平面PAB，進而可證CP⊥PA；（2）先過點P作PD⊥BC，垂足為D，再利用面面垂直的性質定理可證PD⊥平面ABC，進而可證l∥PD，從而利用線面平行的判定定理可證l∥平面PBC．