Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE，設PA=1，AD=2．

（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD．

∵PC⊥平面BDE，BD平面BDE，∴PC⊥BD．

又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，AC平面PAC，

∴BD⊥AC．

又底面ABCD為矩形，∴ABCD為正方形．

建立如圖所示的空間直角坐標系．

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），

D（0，2，0）．

=（0，2，0）， =（﹣2，0，1），

設平面BPC的法向量為 =（x，y，z），

∴ ，∴ ，取 =（1，0，2）．

∴平面BPC的一個法向量為 =（1，0，2）．

（2）平面PAC的法向量為： =（﹣2，2，0）．

設二面角B﹣PC﹣A=θ，由圖可知：θ為銳角．

則cos = = =﹣ ．

∴cosθ= ．

∴sinθ= ．

∴tanθ= =3．即二面角B﹣PC﹣A的正切值為3．

【解析】（1）先利用線面垂直的判定定理可證BD⊥平面PAC，進而可證BD⊥AC，從而可證ABCD為正方形，再建立空間直角坐標系，設平面BPC的法向量，利用平面向量的數量積等于0可得平面BPC的一個法向量；（2）先計算平面PAC的法向量，再設二面角B﹣PC﹣A=θ，可得cosθ，進而利用同角三角函數的基本關系可得tanθ，即二面角B﹣PC﹣A的正切值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面的法向量的相關知識，掌握若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．