Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= AC=2，∠ACB=∠ACD= ．

（1）證明：AP⊥BD；
（2）若AP= ，AP與BC所成角的余弦值為 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接BD交AC于點O．

∵BC=CD，即△BCD為等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，

∵AP平面PAC，∴AP⊥BD．…

（2）作PE⊥AC于點E，則PE⊥底面ABCD，PE⊥BD，

以O為坐標原點， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O﹣xyz．

，而AC=4，得AO=AC﹣OC=3，

又 ，故 ．

設P（0，y，z）（z＞0），則由 ，得（y+3）2+z2=5，

而 ，

由cos＜ ， ＞= ，得 ，則y=﹣1，z=1，…..

∴ ．

設平面ABP的法向量為 ，平面BCP的法向量為 ，

則 ，取 ，得 ，

，取 ，得 ，

從而法向量 的夾角的余弦值為cos＜ ＞= = ．

由圖可知二面角A﹣BP﹣C是鈍角，故二面角A﹣BP﹣C的余弦值為 …

【解析】1、由已知連接BD交AC于點O，根據，BC=CD，得到AC⊥BD，，利用面面垂直的性質定理可得BD⊥平面PAC，即可得證。
2、根據已知建立直角坐標系，求出平面ABP、平面ABP的法向量，利用夾角公式求出二面角A﹣BP﹣C的余弦值。