Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面， // ,, ,點點P在棱上.

（1）求證： ；

（2）若是的中點，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）是否存在正實數，使得，且滿足二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）2

【解析】試題分析：（1）利用面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理及其性質定理即可得出．
（2）以為坐標原點， 分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系．

求得， 利用平面法向量的夾角公式即可得出異面直線與所成角的余弦值；

（3）假設存在正實數滿足題意，易知平面的一個法向量為，設，

由，求得，進而求得， ，求得平面的一個法向量為，利用平面法向量的夾角公式即可得出．

試題解析：(1)證： 平面平面，

平面平面，

又

又四邊形為矩形，

以為坐標原點， 分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系.則，

， ，則

， ，

異面直線所成角的余弦值為

（3）假設存在正實數滿足題意，易知平面的一個法向量為，設，

由得： 得：

即：

，

設平面的一個法向量為則

即 令，則，

即 ， 則

解之得：

綜上所述，存在滿足題意.