Question

【題目】設個質數構成公差為的等差數列，且.求證

（1）當是質數時，；

（2）當時，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）因為 ，，所以，都是大于的質數.因此，每一個都不能被整除.

而被除時只能取個不同的余數，根據抽屜原理，至少有兩個數被除的余數相同.設這兩個數為、.于是，

能被整除.

但，為質數，所以，.

因此，.

（2）設這15個質數構成公差為的等差數列.由于這15個質數必都是奇數，所以，公差為偶數，即.

由其中的，，這3個質數成等差數列，，根據（1）中的結論，得.

由，，，，這5個質數成等差數列，，根據（1）中的結論，得.

由，和且，可得.

因此，由知.但為質數，所以，.

于是，由這7個質數成等差數列，，根據（1）中的結論，得.

同理，由這11個質數成等差數列， ， 根據（1）中的結論，得.

由這13個質數成等差數列， ，根據（1）中的結論，得.

因為，所以，，

即.

故.