Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，E是BC的中點．

求證：；

求異面直線AE與所成的角的大小；

若G為中點，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

分析：（1）由BB1⊥面ABC及線面垂直的性質可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中點，及等腰三角形三線合一，可得AE⊥BC，結合線面垂直的判定定理可證得AE⊥面BB1C1C，進而由線面垂直的性質得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中點E1，連A1E1，E1C，根據異面直線夾角定義可得，∠E1A1C是異面直線A與A1C所成的角，設AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案；（3）連接AG，設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC，由直三棱錐的側面與底面垂直，結合面面垂直的性質定理，可得EP⊥平面ACC1A1，進而由二面角的定義可得∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．

詳解：

證明：因為面ABC，面ABC，所以

由，E為BC的中點得到

面

，

解：取的中點，連，，

則，

是異面直線AE與所成的角

設，則由，

可得，，

，

在中，

所以異面直線AE與所成的角為

連接AG，設P是AC的中點，過點P作于Q，連EP，EQ，則

又平面平面

平面

而．

是二面角的平面角

由，，，得

所以二面角的平面角正切值是