Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間和最小值；

（2）若函數在上的最小值為，求的值；

（3）若,且對任意恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3

【解析】試題分析：（1）求導函數，由導數的正負，可得函數的單調區間；
（2），對結合在上的最小值為，分類討論，建立等式，從而可得結論．

（3）問題轉化為對任意恒成立，設，根據函數的單調性求出的值即可．

試題解析：（1）的單調增區間為，單調減區間為，

（2）， ，

Ⅰ．當時， ， 在上單調遞增， ，所以，舍去.

Ⅱ．當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

①若， 在上單調遞增， ，所以，舍去，

②若， 在上單調遞減，在上單調遞增，所以，解得.

③若， 在上單調遞減， ，所以，舍去，

綜上所述， .

（3）由題意得： 對任意恒成立，即對任意恒成立.

令，則，令，則，

所以函數在上單調遞增，

因為方程在上存在唯一的實根，且，當時， ，即，

當時， ，即.

所以函數在上遞減，在上單調遞增.

所以

所以，又因為，故整數的最大值為3.