Question

（2009•盧灣區二模）若函數f(x)=2sin2x-2

3

sinxsin(x-

π

2

)能使得不等式|f（x）-m|＜2在區間(0， 

2π

3

)上恒成立，則實數m的取值范圍是

（1，2]

．

Answer 1

分析：：利用誘導公式及二倍角、輔助角公式對函數化簡可得f（x）=1+2sin(2x-

π

6

)，由0＜x＜

2π

3

可求sin（2x-

π

6

）的范圍，進而可求f（x）得范圍，而|f（x）-m|＜2 即m-2＜f（x）＜2+m在區間(0， 

2π

3

)上恒成立可得

2+m＞3 m-2≤0

，可求

解答：解：∵f(x)=2sin2x-2

3

sinxsin(x-

π

2

)
=2sin2x+2

3

sinxcosx
=1-cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x-

π

6

)
∵0＜x＜

2π

3

∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(2x-

π

6

)≤1  即0＜f（x）≤3
∵|f（x）-m|＜2 即m-2＜f（x）＜2+m在區間(0， 

2π

3

)上恒成立
∴

2+m＞3 m-2≤0

解可得，1＜m≤2
故答案為：（1，2]

點評：本題主要考查了函數的恒成立問題的求解，解題的關鍵是靈活利用三角函數的誘導公式、二倍角公式及輔助角公式對已知函數進行化簡，然后結合正弦函數的性質求解．