Question

（2009•盧灣區二模）設數列{a_n}的前n項之和為S_n，若Sn=

1

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(an+3)2（n∈N^*），則{a_n}（　　）

A．是等差數列，但不是等比數列

B．是等比數列，但不是等差數列

C．是等差數列，或是等比數列

D．可以既不是等比數列，也不是等差數列

Answer 1

分析：a1=S1=

1

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(a1+3)  2，a₁=3．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

12

(an+3)2-

1

12

(an-1+3)2，所以12a_n=（a_n²+6a_n+9）-（a_n-1+3）²，整理得（a_n-3）²-（a_n-1+3）²=0，解得a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1-6=0，當a_n+a_n-1=0時，

an

an-1

=-1，數列{a_n}是以a₁=3，公比為-1的等比數列．當a_n-a_n-1-6=0時，a_n-a_n-1=6，數列{a_n}是以a₁=3，公差為6的等差數列．

解答：解：a1=S1=

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12

(a1+3)  2，
∴a₁=3．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

12

(an+3)2-

1

12

(an-1+3)2，
∴12a_n=（a_n²+6a_n+9）-（a_n-1+3）²，
∴（a_n-3）²-（a_n-1+3）²=0，
∴[（a_n-3）+（a_n-1+3）][（a_n-3）-（a_n-1+3）]=0，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1-6=0，
當a_n+a_n-1=0時，

an

an-1

=-1，數列{a_n}是以a₁=3，公比為-1的等比數列．
當a_n-a_n-1-6=0時，a_n-a_n-1=6，數列{a_n}是以a₁=3，公差為6的等差數列．
故選D．

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用數列遞推式，合理地進行等價轉化．