Question

（2009•盧灣區(qū)二模）在平面直角坐標系中，若O為坐標原點，則A、B、C三點在同一直線上的充要條件為存在惟一的實數(shù)λ，使得

OC

=λ•

OA

+(1-λ)•

OB

成立，此時稱實數(shù)λ為“向量

OC

關(guān)于

OA

和

OB

的終點共線分解系數(shù)”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），且向量

OP3

是直線l：x-y+10=0的法向量，則“向量

OP3

關(guān)于

OP1

和

OP2

的終點共線分解系數(shù)”為

-1

．

Answer 1

分析：由向量

OP3

是直線l：x-y+10=0的法向量得出向量

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，則由兩向量垂直數(shù)量積為零，我們可設(shè)出向量

OP3

的坐標，然后根據(jù)

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程組，利用待定系數(shù)法即可求出λ的值．

解答：解：由向量

OP3

是直線l：x-y+10=0的法向量得出：

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，
可設(shè)

OP3

=(t，-t)(t≠0)，
由

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

得（t，-t）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3）
=（4λ-1，3-2λ），
∴

4λ-1=t 3-2λ=-t

，
兩式相加得2λ+2=0，
∴λ=-1．
故答案為：-1．

點評：本小題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、向量共線的充要條件等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．