Question

【題目】已知函數f（x）=2x ．
（1）解方程f（log4x）=3；
（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）對x∈[0，15]恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x，

∴f（log4x）=3 = = =3，解得：x=9，

即方程f（log4x）=3的解為：x=9；

（2）解：∵f（x）=2x，為R上的增函數，

∴由f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）對x∈[0，15]恒成立，

得x+1≤（2x+a）2（a＞0）對x∈[0，15]恒成立，

因為a＞0，且x∈[0，15]，所以問題即為 ≤2x+a恒成立

∴a≥（﹣2x+ ）max，x∈[0，15]．

設m（x）=﹣2x+ ，令 =t（1≤t≤4），則x=t2﹣1，t∈[1，4]，

∴m（t）=﹣2（t2﹣1）+t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

所以，當t=1時，m（x）max=1，

∴a≥1．

（3）解：令2x=t，∵x∈（﹣∞，0]，

∴t∈（0，1），

∴存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，

所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，

即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣ ）max或a＞（t+ ）min，

∴a≤0或a≥2；

【解析】（1）依題意，f（log4x）=3 =3，即 = =3，從而可解得x=9；（2）利用指數函數y=2x的單調性可得：f（x+1）≤f[（2x+a）2]x+1≤（2x+a）2，依題意，整理可得a≥（﹣2x+ ）max，x∈[0，15]．利用換元法可解得a的取值范圍；（3）令2x=t，則存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，即存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，分離參數a，即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣ ）max或a＞（t+ ）min，解之即可；