Question

【題目】在直平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．

（1）求證：OC1∥平面AB1D1
（2）求證：平面AB1D1⊥平面ACC1A1
（3）求三棱錐A1﹣AB1D1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設A1C1∩B1D1=O1，連接AO1．

因為AA1∥CC1且AA1=CC1，

所以四邊形AA1C1C是平行四邊形．

所以A1C1∥AC且A1C1=AC．

因為底面ABCD是菱形，

所以O1C1∥AO且O1C1=AO．

所以四邊形AOC1O1是平行四邊形．

所以AO1∥OC1．

因為AO1平面AB1D1，OC1平面AB1D1

所以OC1∥平面AB1D1．

（2）證明：因為AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，

所以B1D1⊥AA1．

因為底面ABCD是菱形，

所以B1D1⊥A1C1，又因為AA1∩A1C1=A1，

所以B1D1⊥平面ACC1A1．因為B1D1平面AB1D1，

所以平面AB1D1⊥平面ACC1A1．

（3）解：由題意可知，AA1⊥平面A1B1C1D1，

所以AA1為三棱錐A﹣A1B1D1的高．

因為 ．

所以三棱錐A1﹣AB1D1的體積為 ．

【解析】（1）由直平行六面體的結構特征可知AO1 OC1 ， 于是OC1∥平面AB1D1；（2）由線面垂直的性質得AA1⊥B1D1 ， 由菱形的性質得A1C1⊥B1D1 ， 故而B1D1⊥平面ACC1A1 ， 于是平面AB1D1⊥平面ACC1A1；
（III）以△A1B1D1為棱錐的底面，AA1為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計算即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．