Question

設橢圓的左、右焦點分別為，
上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）是過三點的圓上的點，到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中垂線與軸相交于點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：解：（Ⅰ）連接，因為，，所以，
即，故橢圓的離心率．
（Ⅱ）由（1）知得于是, ，
的外接圓圓心為），半徑
到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為，
所以，得  ，橢圓方程為
（Ⅲ）由（Ⅱ）知, ：
   代入消得  
因為過點，所以恒成立
設，則，
中點                        
當時，為長軸，中點為原點，則      
當時中垂線方程．
令，              
，， 可得          
綜上可知實數的取值范圍是．              
點評：關于曲線的大題，難度相對都較大。對于題目涉及到關于直線和其他曲線的交點時，一般都可以用到跟與系數的關系式：在一元二次方程中，。