Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）,則稱以原點為圓心，r=的圓為橢圓C的“知己圓”。
（Ⅰ）若橢圓過點（0,1），離心率e=；求橢圓C方程及其“知己圓”的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若過點（0，m）且斜率為1的直線截其“知己圓”的弦長為2，求m的值；
（Ⅲ）討論橢圓C及其“知己圓”的位置關系.

Answer 1

（1）（2）  
（3）當r=c<b時，該橢圓C的“知己圓”與橢圓沒有公共點，圓在橢圓內；  12分
當r=c=b時，該橢圓C的“知己圓”與橢圓有兩個公共點，交點是（0，1）和（0，-1）；
當r=c＞b時，該橢圓C的“知己圓”與橢圓有四個公共點。

試題分析：（Ⅰ）∵ 橢圓C過點（0,1），由橢圓性質可得：b=1；
又∵橢圓C的離心率e=，即，且       2分
∴ 解得
∴所求橢圓C的方程為：                         4分
又∵
∴ 由題意可得橢圓C的“知己圓”的方程為：            6分
（Ⅱ）過點（0，m）且斜率為1的直線方程為y="x+m" 即：x-y+m=0
設圓心到直線的距離為d,則d=           8分
∴d=    解得：m=                          10分
（Ⅲ）∵稱以原點為圓心，r=的圓為橢圓C的“知己圓”，此時r=c
∴ 當r=c<b時，該橢圓C的“知己圓”與橢圓沒有公共點，圓在橢圓內；  12分
當r=c=b時，該橢圓C的“知己圓”與橢圓有兩個公共點，交點是（0，1）和（0，-1）；
當r=c＞b時，該橢圓C的“知己圓”與橢圓有四個公共點。            14分
點評：主要是考查了橢圓的幾何性質以及新定義的理解和運用，屬于中檔題。