Question

如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、．點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點．設直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；
（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）根據橢圓的方程以及斜率公式來得到求解。
（2）點的坐標為或  

試題分析：（i）.橢圓方程為，、 設
則，，      2分
（ii）記A、B、C、D坐標分別為、、、
設直線：    ：
聯立可得              4分

，代入，可得
                            6分
同理，聯立和橢圓方程，可得             7分
由及（由（i）得）可解得，或，所以直線方程為或，
所以點的坐標為或                      10分
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系，以及運用韋達定理求解斜率和，進而得到直線的方程，得到點P的坐標，屬于中檔題。