Question

如圖，A,B是橢圓的兩個頂點(diǎn), ，直線AB的斜率為．求橢圓的方程；（2）設(shè)直線平行于AB，與x,y軸分別交于點(diǎn)M、N，與橢圓相交于C、D，
證明：的面積等于的面積．

Answer 1

（1）;（2）證明略.

試題分析：（1）根據(jù)條件表示A、B兩點(diǎn)，得到，，聯(lián)立即可求出a,b；（2）先設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，消y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，而，，由直線：，求，得，所以.
試題解析：（1）解：依題意，，，，
整理得                          2分
解得 ，．                            3分
所以 橢圓的方程為．                       4分
（2）證明：由于//，設(shè)直線的方程為，將其代入，消去，
整理得．    6分
設(shè)，．
所以     8分
證法一：記△的面積是，△的面積是．
由，，
則      10分
因?yàn)?，所以 ， 13分
從而．                      14分
證法二：記△的面積是，△的面積是．
則線段的中點(diǎn)重合．       10分
因?yàn)?，所以 ，．
故線段的中點(diǎn)為．                           
因?yàn)?，，所以 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)亦為．  13分
從而．                    14分