Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為，上頂點為，過三點作圓  
（Ⅰ）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值  

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1

試題分析：（Ⅰ）利用直徑所對的圓周角是直角建立參數的關系，然后求之；（Ⅱ）利用圓心在直線上尋找參數的關系，然后求之；（Ⅲ）直線與橢圓的相交問題采用設而不求的思路，利用坐標表示出的表達式，然后使用基本不等式求解
試題解析：（Ⅰ）由橢圓的方程知，點，，設F的坐標為，
是的直徑，，      2分
解得，橢圓離心率    4分
（Ⅱ）過點三點，
圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
FC的垂直平分線方程為       ①
的中點為，的垂直平分線方程為  ②
由①②得，即         7分
在直線上，,。
由得，橢圓的方程為          9分
（Ⅲ）由得     （*）
設，則
       11分

         13分
當且僅當,時取等號。此時方程（*）中的Δ>0,
的最大值為1        13分