Question

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）（-∞，）

試題分析：解：（1）∵焦距為4，∴ c=2   1分
又∵的離心率為   2分
∴，∴a=，b=2   4分
∴標準方程為  6分
（2）設直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得 7分
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由（1）知右焦點F坐標為（2，0），
∵右焦點F在圓內部，∴＜0 9分
∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0  10分
∴＜0  12分
∴k＜    13分
經檢驗得k＜時，直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，） 14分.
點評：主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。