Question

【題目】已知函數f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）為偶函數，求b的值；
（2）若f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，試求a、b應滿足的條件．

Answer 1

【答案】解：（1）因為f（x）為偶函數，∴對任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），
即a|x+b|=a|﹣x+b| ， 所以|x+b|=|﹣x+b|
得 b=0．
（2）記h（x）=|x+b|=，
①當a＞1時，f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，即h（x）在區間[2，+∞）上是增函數，
∴﹣b≤2，b≥﹣2
②當0＜a＜1時，f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，即h（x）在區間[2，+∞）上是減函數
但h（x）在區間[﹣b，+∞）上是增函數，故不可能
∴f（x）在區間[2，+∞）上是增函數時，a、b應滿足的條件為a＞1且b≥﹣2
【解析】（1）因為f（x）為偶函數，得到對任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），求出b；
（2）記h（x）=|x+b|= ， 討論a值得到b的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．