Question

【題目】設函數f（x）=kx2+2x（k為實常數）為奇函數，函數g（x）=af（x）﹣1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）當a=時，g（x）≤t2﹣2mt+1對所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得 kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，
∴k=0．
（Ⅱ）∵g（x）=af（x）﹣1=a2x﹣1=（a2）x﹣1（13分）
①當a2＞1，即a＞1時，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上為增函數，∴g（x）最大值為g（2）=a4﹣1．
②當a2＜1，即0＜a＜1時，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上為減函數，
∴g（x）最大值為．
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值為，
∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立
令h（m）=﹣2mt+t2 ， ∴
即
所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
【解析】（Ⅰ）利用函數是奇函數，建立方程，即可求k的值；
（Ⅱ）對a分類討論，確定函數的單調性，即可求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）當a=時，g（x）≤t2﹣2mt+1對所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，等價于1≤t2﹣2mt+1在[﹣1，1]上恒成立，構建新函數，即可求實數t的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和二次函數在閉區間上的最值，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；當時，當時，；當時在上遞減，當時，才能得出正確答案．