Question

【題目】已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

求出原函數的定義域，要使原函數在定義域內是單調減函數，則其導函數在定義域內恒小于等于0，原函數的導函數的分母恒大于0，只需分析分子的二次三項式恒大于等于0即可，根據二次項系數大于0，且對稱軸在定義域范圍內，所以二次三項式對應的拋物線開口向上，只有其對應二次方程的判別式小于等于0時導函數恒小于等于0，由此解得b的取值范圍．

由x+2＞0，得x＞﹣2，所以函數f（x）x2+bln（x+2）的定義域為（﹣2，+∞），

再由f（x）x2+bln（x+2），得：

要使函數f（x）在其定義域內是單調減函數，則f′（x）在（﹣1，+∞）上恒小于等于0，

因為x+2＞0，

令g（x）＝x2+2x﹣b，則g（x）在（﹣1，+∞）上恒大于等于0，

函數g（x）開口向上，且對稱軸為x＝﹣1，

所以只有當△＝22+4×b≤0，即b≤﹣1時，g（x）≥0恒成立．

所以，使函數f（x）在其定義域內是單調減函數的b的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．

故選：C．