Question

【題目】如圖，經過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．記∠AMN=θ．
（1）將AN，AM用含θ的關系式表示出來；
（2）如何設計（即AN，AM為多長時），使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離AP最大）？

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得： = =

所以AN= ，AM=

（2）解：AP2=AM2+MP2﹣2AMMPcos∠AMP

= sin2（θ+60°）+4﹣ sin（θ+60°）cos（θ+60°）

= [1﹣cos（2θ+120°）]﹣ sin（2θ+120°）+4

= [ sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+

= ﹣ sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用誘導公式可知sin（120°﹣θ）=sin（θ+60°））

當且僅當2θ+150°=270°，即θ=60°時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小，此時AN=AM=2．

【解析】（1）根據正弦定理，即可θ表示出AN，AM；（2）設AP2=f（θ），根據三角函數的公式，以及輔助角公式即可化簡f（θ）；根據三角函數的圖象和性質，即可求出函數的最值．