Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點B（0，1）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點A是橢圓的右頂點，點在以AB為直徑的圓上，延長PB交橢圓E于點Q，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率和b＝1，結合基本量的關系，可得a，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）由A（2，0），又B（0，1），求得圓方程和設PQ的參數方程為（t為參數，α為銳角），分別代入圓方程和橢圓方程，可得|BP|，|BQ|，再由換元法和判別式法，解不等式可得最大值．

（Ⅰ）橢圓的離心率為，且過點B（0，1），可得b=1，，，解得a=2，，則橢圓E的方程為；

（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），可得以AB為直徑的圓方程為，

設PQ的參數方程為（為參數，為銳角），

代入圓方程可得，

可得，

將直線的參數方程代入橢圓方程可得：

，

可得，

則，

設，設上式為，

即有，

，即為，

解得，

則的最大值為．