Question

【題目】某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關系式：y= +10（x﹣6）2 ， 其中3＜x＜6，a為常數，已知銷售的價格為5元/千克時，每日可以售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為x=5時，y=11，

y= +10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a為常數．

所以 +10=11，故a=2；

（2）解：由（1）可知，該商品每日的銷售量y= +10（x﹣6）2，

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f（x）=（x﹣3）[ +10（x﹣6）2]

=2+10（x﹣3）（x﹣6）2，3＜x＜6．

從而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4），

于是，當x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	單調遞增	極大值42	單調遞減

由上表可得，x=4是函數f（x）在區間（3，6）內的極大值點，也是最大值點．

所以，當x=4時，函數f（x）取得最大值，且最大值等于42．

答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大

【解析】（1）由x=5時，y=11，代入函數的解析式，解關于a的方程，可得a值；（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于x的三次多項式函數，再用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的x值．