Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的最小值；

（2）若函數在上單調，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)1；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意求得導函數，結合函數的單調性可得函數的最小值為f(1)=1；

(2)首先求解導函數，然后分類討論函數單調遞增和單調遞減兩種情況可得實數的取值范圍是.

試題解析：

(1)由題意知,函數的定義域為(0,+∞),

當a=2時,f'(x)=2x-,

由f'(x)<0得0<x<1,故f(x)的單調遞減區間是(0,1).

由f'(x)>0得x>1,故f(x)的單調遞增區間是(1,+)

所以函數的最小值為f(1)=1

(2)由題意得g'(x)=2x-,函數g(x)在[1,+∞)上是單調函數.

①若g(x)為[1,+∞)上的單調增函數,則g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

即a2x2在[1,+∞)上恒成立,

設φ(x)=2x2,

∵φ(x)在[1,+∞)上單調遞增,∴φ(x)min=φ(1)=0,∴a≤0.

②若g(x)為[1,+∞)上的單調減函數,則g'(x)≤0即a2x2由①知φ(x)=2x2在[1,+∞)上單調增，x趨向于無窮大時φ(x)趨向于無窮大，φ(x)無最大值,故不可能.

綜上所述，a的取值范圍為a≤0.