Question

【題目】已知，都是各項為正數的數列，且，．對任意的正整數n，都有，，成等差數列，，，成等比數列．

（1）求數列和的通項公式；

（2）若存在p＞0，使得集合M＝恰有一個元素，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)（2）見解析

【解析】

（1）利用等差中項和等比中項的性質，列方程組，解方程求得公差和公比，由此求得數列的通項公式.（2）構造數列，當時，利用數列的單調性求得的范圍；當或時，不符合題意；當時，利用的唯一最大值不小于，求得的取值范圍.最后綜上所述求得的取值范圍.

解:（1）根據題意，2bn2＝an＋an＋1 ①， an＋1＝bnbn＋1 ②，

于是a2＝3，b2＝，2bn＋12＝an＋1＋an＋2＝bnbn＋1＋bn＋1bn＋2，

又因為bn＞0，上式可化簡為:2bn＋1＝bn＋bn＋2對任意n∈N*恒成立，

所以數列{bn}是以b1＝為首項，b2－b1＝為公差的等差數列，

所以數列{bn}的通項公式bn＝ (n＋1)，

把上式代入②，則an＋1＝，

特別地，當a1＝1也符合上式，故數列{an}的通項公式an＝n(n＋1)．

（2）令cn＝，則＝，

當p＞3，數列{cn}單調遞減，因為集合M中只有一個元素，所以c2＜λ≤c1，

即 ＜λ≤；

當p＝3， c1＝c2＞c3＞c4＞…，M中不可能只有一個元素，所以不符合題意；

當0＜p≤1，數列{cn}單調遞增，M中不可能只有一個元素，所以不符合題意；

當1＜p＜3，令k＝[]∈N，即k是小于等于的最大整數，則＜p－1≤．

①若p＝＋1時，則c1＜c2＜…＜ck＝ck＋1＞ck＋2＞ck＋3＞…，M中不可能只有一個元素，所 以不符合題意；

②若＋1＜p＜時，則c1＜c2＜…＜ck＜ck＋1＞ck＋2＞ck＋3＞…，

且ck＋2＞ck，所以ck+2＜λ≤ck＋1，即＜λ≤；

③若≤p＜＋1時，則c1＜c2＜…＜ck＜ck＋1＞ck＋2＞ck＋3＞…，

且ck＋2≤ck，所以ck＜λ≤ck＋1，即＜λ≤；

綜上，當p＞3時，＜λ≤；

當1＜p＜3時，取k＝[]∈N，

（i）若＋1＜p＜時，＜λ≤；

（ii）若≤p＜＋1時，＜λ≤．