Question

【題目】已知函數， .

（1）若，討論函數的單調性；

（2）是否存在實數，對任意， ， 有恒成立，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；

（3）記，如果是函數的兩個零點，且， 是的導函數，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析(1)求導得分， ， 三種情況討論可得的單調區間.

(2) 恒成立，不妨設，即，令，則在上為增函數，只要在恒成立求解即可.

（3）利用，（ ）是函數的兩個零點這一條件得，兩式推出關于，和a的一個等式，即可利用表示。求出之后，將代入得，構造函數，其中，利用導數求得其最大值為零，又表達式中， ，得證.

試題解析：（1）的定義域為

①若，則， ， 在上單調遞增；

②若，則，而，∴，

當時， ；當及時，

所以在上單調遞減，在及單調遞增；

③若，則，同理可得在上單調遞減，在及單調遞增.

（2）假設存在，對任意，有恒成立，

不妨設，只要，即，

令，只要在上為增函數，

只要在恒成立，只要，故存在時，對任意，有恒成立.

（3）由題意知，

兩式相減，整理得，所以

，又因為，

所以

令，則，

所以在上單調遞減，故

又，所以

點晴:本題主要考查函數單調性，不等式恒成立，及不等式的證明問題.要求單調性，求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調區間，要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數證明新函數單調，只需要證明其導函數大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.