Question

【題目】設函數是定義在上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數，都有；②當時， ；③.

（1）求， 的值；

（2）證明在上是減函數；

（3）如果不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析; （Ⅲ））.

【解析】試題分析：（1）利用賦值法，求、的值．
（2）利用單調性的定義，結合抽象函數之間的數值關系進行證明．
（3）利用函數的單調性將不等式進行轉化，解不等式即可．

試題解析：

（Ⅰ）令易得．

而，

且，得．

（Ⅱ）

∴

∴在上為減函數．

（Ⅲ）由條件（1）及（Ⅰ）的結果得： ，其中，

由（Ⅱ）得： ，解得的范圍是）

點晴：本題屬于對函數單調性的證明和單調性應用的考察，若函數在區間上單調遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區間上單調遞減，則當時有；據此可以解不等式，由數值的大小，根據單調性就可以得自變量的大小關系.